Analyse Complexe - 3AMMA362

Objectif(s)

Etre capable d'étudier une fonction holomorphe
Etre capable de calculer une intégrale par la méthode des résidus

Objectifs généraux

Acquérir une bonne connaissance des propriétés du plan complexe et découvrir les propriétés et le comportement des fonctions de variables complexes. Un accent particulier est mis sur les notions et résultats les plus fréquemment invoqués dans les cours d'automatique et de traitement du signal.

Objectifs spécifiques

•Savoir manipuler des fonctions complexes
•Savoir calculer des intégrales par la méthode des résidus, et comprendre les théories mathématiques qui sont sous-jacentes

Contenu(s)

1 Dérivation complexe
1.1 Limites, continuité
1.2 Dérivation complexe
1.3 Fonctions harmoniques
2 Fonctions complexes usuelles
2.1 Fonctions polynômiales complexes
2.2 Racines n-ième de z
2.3 Fonction exponentielle, fonctions trigonométriques, logarithme complexe
3.Intégration complexe
3.1 Intégrales curvilignes
3.2 Le théorème de Cauchy
3.3 Formule intégrale de Cauchy
3.4 Dérivées d'une fonction holomorphe
3.5 Théorème de Liouville
4. Analyticité des fonctions holomorphes
4.1 Définition de l'analyticité
4.2 Equivalence holomorphie/analyticité
4.3 Série de Laurent
5 Le théorème des résidus et applications
5.1 Zéros et singularités
5.2 Le théorème des résidus
5.3 Calcul des résidus
5.4 Calcul d'intégrales par la méthode des résidus

Complexes, modules et argument, formules de Taylor, suites et séries de fonctions,courbes paramétrées, intégrales, décomposition en éléments simples,calcul de primitives, limite, continuité, dérivation, dérivées partielles, différentielle, intégration, intégrales curvilignes, fonctions réelles usuelles, séries entières.